【幾何学×Processing】第3回 私たちが line() で描いているのは「直線」ではない？線の定義と3つの分類

ワタタク

どうもクリエイティブコーダーのワタタクです。

前回の記事『【幾何学×Processing】第2回：世界を作る最小の部品「点」の正体とは？』は、大きさも幅も持たない0次元の存在である「点」の正体を探りました。今回はその続編として、点が動き出すことで立ち上がる1次元の世界——「線（Line）」の構造を、ユークリッド幾何学の公理とProcessingのコードの両面から紐解いていきます。

私たちが普段、紙にペンで引いたり、Processingの line() で画面に描いたりしている「線」の裏側には、実は厳密な数学的ルールと構造の美しさが隠れています。

この記事を書いた人

クリエイティブコーダー

「才能」ではなく「発見」で描く。文系・36歳からの上達ログ。

• ゼロから独学でクリエイティブコーディングに挑戦し、以下の実績を達成
  • 開始1年8ヶ月目までに公募6つに挑戦し、3つ入選（勝率50%）
    • KITTE大阪の18メートルあるAxCROSS大型スクリーン
    • 虎ノ門ヒルズステーションタワーB2F TOKYO NODE エントランスサイネージで展示
    • UN:O（東京大手町）にある会員限定のサテライトオフィスにて2作品選出・常設展示
• 開始1年9ヶ月目に、虎ノ門ヒルズ49階、地上250mのインフィニティプールへ作品提供・展示

線の正体：「幅のない、純粋な長さ（1次元）」

紀元前300年頃、数学者ユークリッドは著書『原論』の中で、点を「部分を持たないもの」と定義した直後に、線を次のように定義しました。

「線とは、幅のない長さである」

ここでも、私たちの「目の前の現実」と「数学の概念」の間には決定的な違いがあります。

0次元の「点」が運動（時間や変化）を得た瞬間に、初めて「長さ」という1次元の世界が立ち上がります。

「線」には厳密に3つの種類がある

日常会話ではすべてひとまとめに「線」と呼んでいますが、幾何学の世界では「端っこ（限界）があるかどうか」によって、次の3つに厳密に区別されます。ここがProcessingのコードと直結する重要なポイントです。

私たちがProcessingで line(100, 100, 300, 200); と書いて画面に引いているものは、厳密には無限に続く「直線」ではなく、始点と終点で切り取られた有限の「線分」です。

無限に伸びる「直線」という見えないレールの上から、必要な長さだけを切り出して画面に定着させる行為——それが line() を使うということなのです。

なぜ「2点」が決まると、線は「1本」に決まるのか？

記事『大きさゼロの「点」に、幅・長さ・面積・体積を与えてみた ― Processingの point() だけで立ち上げる次元の実験【WSN : L-011~L-015】』の考察で、「点に大きさを許すと、2つの点の間に何本もの線が引けてしまう」という矛盾に触れました。これは、ユークリッド幾何学の最も重要な大原則（公理）の裏返しです。

1点だけではグラグラと不安定だった空間に、2つ目の点を打った瞬間に、ピタッと1本の軸が固定される気持ちよさ。

ただの「場所」でしかなかった「点」が2つ集まることで、そこにはじめて「関係性（つながり・距離・方向）」という構造が生まれます。

Processingで line() を書くということ

Processingで次のようなコードを書いたとき、コンピューターの内部では何が起きているのでしょうか。

void setup() {
  size(400, 400);
  background(255);
  stroke(0);
  
  // 2つの点を指定して「線分」を描く
  line(100, 100, 300, 200);
}

void setup() {
  size(400, 400);
  background(255);
  stroke(0);
  
  // 2つの点を指定して「線分」を描く
  line(100, 100, 300, 200);
}

コンピューターは「1本の長い棒」をデータとして記憶しているわけではないんですね。

つまり、コードの上でも幾何学の公理の上でも、「線は2つの点によって支配されている（2点が決まれば自動的に生まれる）」という構造はまったく同じなのです。

今回のまとめと次回予告

点が動き、2つの点が結ばれて「線」が生まれました。では、その線が3本集まって空間を閉じ込めたりしたとき、世界はどう変化するのでしょうか？

次回は、三角形についてです。

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それでは今日もレッツワクワクコーディング。