公理（Axiom）とは何か？証明不要の絶対ルールと「定理」との違いをコードで理解する

ワタタク

どうもクリエイティブコーダーのワタタクです。

幾何学や数学の書籍を読んでいると、必ずと言っていいほど登場するのが「公理（こうり / Axiom）」という言葉です。

一言でいうと、公理とは証明を必要としない「議論や理論を組み立てるための大前提（スタート地点のルール）」のことです。

私たちが何かを論理的に証明しようとすると、「Aが正しいのはBが正しいから」「Bが正しいのはCが正しいから……」と根拠をどんどん遡ることになります。しかし、どこかで「これ以上遡れない、人間全員が『それは当たり前だよね』と無条件で認める出発点」を決めないと、いつまで経っても話が始まりません。

その「一番最初の土台となる絶対ルール」が公理です。

この記事を書いた人

クリエイティブコーダー

「才能」ではなく「発見」で描く。文系・36歳からの上達ログ。

• ゼロから独学でクリエイティブコーディングに挑戦し、以下の実績を達成
  • 開始1年8ヶ月目までに公募6つに挑戦し、3つ入選（勝率50%）
    • KITTE大阪の18メートルあるAxCROSS大型スクリーン
    • 虎ノ門ヒルズステーションタワーB2F TOKYO NODE エントランスサイネージで展示
    • UN:O（東京大手町）にある会員限定のサテライトオフィスにて2作品選出・常設展示
• 開始1年9ヶ月目に、虎ノ門ヒルズ49階、地上250mのインフィニティプールへ作品提供・展示

ユークリッド幾何学における「公理」の例

紀元前300年頃にまとめられたユークリッド幾何学（『原論』）では、たとえば次のようなルールが公理（公準）として最初に設定されています。

これらは計算や数式を使って「なぜそうなるのか？」を証明するものではありません。

「まずこのルールを無条件で認めたうえで、そこから三角形や円などの複雑な図形の性質（定理）を導き出していこう！」という、すべての思考の出発点となる約束事です。

「公理」と「定理」の決定的な違い

数学や幾何学の文章を読むとき、よく似た言葉である「公理」と「定理」の2つを区別すると、全体の構造が一気にクリアになります。

公理は「ルールそのもの」であり、定理はそのルールを使って導き出された「正しい結果（法則）」という関係にあります。

Processingのコードでイメージすると？

この関係は、クリエイティブコーディング（Processing）の仕組みに置き換えるとさらに直感的に理解できます。

たとえば、Processingで画面に図形を描くとき、私たちは次のような座標のルールを前提にコードを書きます。

void setup() {
  size(400, 400);
  background(255);
  
  // 左上を (0, 0) とする座標ルールの上で線を引く
  line(100, 100, 300, 200);
}

void setup() {
  size(400, 400);
  background(255);
  
  // 左上を (0, 0) とする座標ルールの上で線を引く
  line(100, 100, 300, 200);
}

Processingの世界では、「キャンバスの左上を (0, 0) とし、右に行くと x が増え、下に行くと y が増える」という座標系そのものが『公理』です。

「なぜ右に行くと x が増えるのか？」「なぜ左上がゼロなのか？」をコードの中で証明する必要はありません。まずその前提（公理）を仕様として受け入れるからこそ、line(100, 100, 300, 200); という表現が成立します。

つまり「公理」とは、広大な幾何学という建築物を支えるための「一番下の基礎コンクリート」のような存在なのです。

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それでは今日もレッツワクワクコーディング。