数学者は「点は大きさゼロ」と言うが、紙の上に打ってみたらどうなるのか？【WSN : A-011】

ワタタク

どうもクリエイティブコーダーのワタタクです。

幾何学を勉強していると、真っ先にぶつかる強烈な違和感があります。

古代ギリシャの数学者ユークリッドは言いました。

「点とは、部分を持たない（大きさゼロの）ものである」

……本当にそうでしょうか？

気になったので、手元にあるノートを開き、ありとあらゆるペンを総動員して「紙の上に点を打ちまくる実験」をやってみました。

この記事を書いた人

クリエイティブコーダー

「才能」ではなく「発見」で描く。文系・36歳からの上達ログ。

• ゼロから独学でクリエイティブコーディングに挑戦し、以下の実績を達成
  • 開始1年8ヶ月目までに公募6つに挑戦し、3つ入選（勝率50%）
    • KITTE大阪の18メートルあるAxCROSS大型スクリーン
    • 虎ノ門ヒルズステーションタワーB2F TOKYO NODE エントランスサイネージで展示
    • UN:O（東京大手町）にある会員限定のサテライトオフィスにて2作品選出・常設展示
• 開始1年9ヶ月目に、虎ノ門ヒルズ49階、地上250mのインフィニティプールへ作品提供・展示

ノートの上に現れた「色とりどりの矛盾」

手持ちの筆記具を取り出し、紙の上にペン先を「トン」と垂直に落としてみます。

結果は明白でした。

どう足掻いても、「大きさ」が生まれてしまうのです。

油性マーカーを置けばドカンと大きな黒い円が広がり、0.3mmの極細シャープペンで突いても、紙の繊維に黒鉛がめり込んでわずかな面積を持つ。

当たり前ですが、物理世界に生きている以上、インクや芯を使う限り「大きさゼロの点」を人間が紙の上に描くことは不可能です。

実験で気づいた「3つの身体的リアル」

実際に紙とペンで実験してみて、頭で考えていただけでは絶対に分からなかった3つの発見がありました。

① ボールペンは「点を打つ」のが異常に難しい

文字を書くときは滑らかなボールペンですが、ペン先を垂直に「トン」と置くだけだと、インクがうまく出ないか、紙を引っ掻くだけになりがちです。

ボールペンの構造は「先端の極小ボールが転がることでインクを運ぶ」仕組み。つまり、最初から「線（動き）」を描くために作られた道具であって、「点（静止）」を打つための道具ではないという身体的な気づきがありました。

② シャープペンと鉛筆が、最も幾何学の思想に近い

一方で、シャープペンシルや鉛筆の黒鉛は、紙に触れた瞬間にピンポイントで定着します。

特に製図用シャープペン（0.3mm〜0.5mm）を直角に立ててトンと置いたときの「これ以上小さくできない極小の位置」が決まる感触は、幾何学の「位置の確定」という思想ともの凄く相性が良いと感じました。

③ 「ほくろ」のように見え隠れする点の面白さ

ノートの隅に、見えるか見えないかギリギリの極小の点を打ってみたとき、ふと「人の肌にあるほくろみたいだな」と思いました。

意識しなければ風景に溶けて消えてしまうけれど、一度気づいて目を凝らすと、そこがすべての中心（特異点）に見えてくる。

「見えそうで見えない点」を打つ行為そのものが、なんだかすごく静かで新鮮な感覚でした。

3. なぜ数学者は「無理な嘘」をついたのか？

紙の上に「大きさゼロの点」が存在できないことは、ペンを握れば多くの人が分かります。

ではなぜ、古代の数学者たちは「点には大きさがない」と定義したのでしょうか？

理由は単純で、「大きさを認めると、すべての計算と作図が崩壊するから」です。

もし点に0.5ミリでも厚みがあったら：

だから数学者たちは割り切ったのです。

「紙の上の黒いインク粒は、本物の点ではない。『ここに点が存在しますよ』と人間に知らせるための、ただの【標識（看板）】にすぎない」と。

アナログの手触りが、コード（Processing）に命を吹き込む

このアナログの実験をやった後で、改めてProcessingの画面に戻ってみます。

void setup() {
  size(400, 400);
  background(240);

  stroke(0);
  strokeWeight(5); // ← これが「標識」の大きさ
  point(200, 200); // ← これが「数学的な真の点（位置）」
}

void setup() {
  size(400, 400);
  background(240);

  stroke(0);
  strokeWeight(5); // ← これが「標識」の大きさ
  point(200, 200); // ← これが「数学的な真の点（位置）」
}

画面中央にポツンと現れる黒い丸。

以前なら「ただのドット」に見えていたものが、今ならはっきりと分かります。

ペン先をモレスキンの紙に落とし、インクの滲みと格闘した手触りがあるからこそ、コードの1行が持つ「深み」が身体に染み込んできます。

幾何学は、教科書の中の数式で終わらせるだけでなく、お気に入りのペンを1本持って、白い紙に描いてみる楽しみもある。

すべての世界は、点から始まっています。

▼ 今回の実験の元になった本編記事はこちら。

※数学的な0次元の定義と、Processingでの実装コードをさらに詳しく解説しています。

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ワタタク

それでは今日もレッツワクワクコーディング。